La presenza persistente di jitter nei dati di mercato rappresenta una delle contestualizzazioni critiche che compromettono la precisione delle strategie di trading automatizzate, specialmente in ambienti caratterizzati da elevata volatilità strutturale. Il jitter, definito come l’oscillazione ad alta frequenza e non correlata alla direzione del trend, introduce rumore che distorce i segnali fondamentali, riducendo la qualità delle decisioni algoritmiche e aumentando il tasso di falsi positivi nelle operazioni di entry/exit. Mentre i filtri tradizionali — Butterworth, Kalman, filtering medio mobile — si dimostrano insufficienti nel contesto dinamico e non stazionario dei mercati italiani — come FTSE MIB o Borsa Italiana —, il filtro wavelet adattivo si configura come strumento metodologicamente superiore, capace di isolare e attenuare selettivamente le componenti di jitter senza alterare le dinamiche di lungo termine. Questo approfondimento dettagliato, ispirato al Tier 2, fornisce una guida operativa passo-passo per implementare un sistema di filtraggio avanzato, integrato con analisi tempo-frequenza e feedback dinamico, per massimizzare la robustezza del segnale di trading.

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## 1. Introduzione: Il Problema del Jitter nei Mercati Volatili

Il jitter nei dati di trading emerge principalmente come rumore ad alta frequenza, generato da microstrutture di mercato come ordini intermittenti, slippage, e dinamiche di liquidità frammentata. In contesti italiani, caratterizzati da elevata volatilità intraday e volatilità implicita elevata (es. FTSE MIB durante eventi macroeconomici), il jitter può rappresentare fino al 15-20% della varianza totale del prezzo, riducendo la capacità predittiva anche di modelli sofisticati. La sua natura non stazionaria impedisce l’uso di filtri lineari statici: è necessario un approccio adattivo che riconosca e rimuova il rumore selettivamente, preservando le dinamiche critiche del segnale. Qui entra in gioco il filtro wavelet adattivo, fondato sulla decomposizione multirisoluzione, capace di isolare componenti temporali e frequenziali con precisione senza distorsioni di fase.

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## 2. Fondamenti del Filtro Wavelet Adattivo: Matematica e Architettura

### 2.1 Decomposizione Multirisoluzione e Wavelet Madre

La trasformata wavelet continua decompone un segnale in scale di dettaglio, ognuna rappresentante una banda di frequenza specifica. La scelta della wavelet madre è cruciale: per segnali finanziari, funzioni simmetriche come Daubechies (db4, db6) o Symlets (sym4, sym8) minimizzano le distorsioni di fase e gli artefatti di bordo, essenziali in trading ad alta frequenza.
*Esempio pratico*: La wavelet sym4, con supporto compatto e buona simmetria, è ottimale per segnali con transizioni rapide come i tick di prezzo in Borsa Italiana.
La decomposizione multirisoluzione divide il segnale in componenti di dettaglio (D1, D2, …) e approssimazioni (A0), consentendo un’analisi gerarchica.

### 2.2 Adattamento Dinamico del Threshold nel Wavelet

Il cuore del filtro adattivo risiede nell’adattamento in tempo reale delle soglie di attenuazione. A differenza del thresholding fisso, il *SureShrink* (basato sull’errore quadratico stimato) e lo *estimatore non distorto di Stein* permettono di calcolare soglie ottimali per ogni scala, riducendo il bias e la varianza.
*Formula*:
  $\lambda_j = \sigma_j \sqrt{2 \log N}$
dove $\sigma_j$ è la deviazione standard della scala $j$, $N$ è la dimensione della finestra.
Questo approccio garantisce maggiore precisione nel rimuovere rumore senza smussare brusche variazioni di prezzo, fondamentali per segnali di trend e break.

### 2.3 Analisi Tempo-Frequenza e Isolamento del Jitter

Il jitter si manifesta prevalentemente nelle bande ad alta frequenza (5-20 Hz), spesso sovrapposte al rumore di microstruttura. L’analisi tempo-frequenza wavelet consente di identificare scale in cui le componenti di jitter dominano, permettendo un filtraggio selettivo.
*Metodo*: applicare la trasformata wavelet continua con funzione madre db4, sezionare la scala D1-D3 (5-20 Hz), e stimare il coefficiente medio per isolare il “rumore residuo” ad alta frequenza.

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## 3. Fase 1: Pre-Elaborazione del Segnale di Trading

### 3.1 Filtraggio Iniziale con Media Mobile Esponenziale a Finestra Variabile

Prima della wavelet, è fondamentale rimuovere trend di lungo termine che mascherano il jitter. Si applica una **media mobile esponenziale a finestra scorrevole** (expWMA) con parametro $\alpha \in [0.05, 0.2]$:
def expWMA(data, alpha=0.1, window=50):
weights = np.exp(-np.arange(window) * alpha)
weights /= weights.sum()
return np.convolve(data, weights, ‘same’)

Questa operazione attenua slow drift senza introdurre ritardi, preservando le dinamiche di breve termine.

### 3.2 Normalizzazione con Z-Score e Gestione Non-Stazionarietà

Data la variabilità intrinseca dei dati italiani, la normalizzazione tramite Z-score è essenziale, ma deve considerare finestre scorrevoli:
z_score(data, window=100):
mu = np.expanding(np.mean(data[:window]))
std = np.std(data[:window])
return (data – mu) / (std + 1e-8)

La non-stazionarietà richiede aggiornamenti dinamici del mean e std ogni 30 secondi, sincronizzati con gli aggiornamenti di mercato.

### 3.3 Rimozione Outliers con Analisi Residui Wavelet

Gli outliers derivanti da errori di tick o eventi sporadici vengono identificati tramite soglia su coefficienti wavelet a scale basse (D0-D1), dove il rumore è più dominante:
– Calcolare $R_j = \|d_j\|_2$ per ogni scala $j$
– Impostare soglia: $\tau_j = \sigma_j \sqrt{2\log(N)} \cdot \text{clip}(1.5, 2)$
– Sostituire valori $> \tau_j$ con mediana della scala
Questo processo elimina picchi anomali senza alterare movimenti di prezzo reali.

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## 4. Fase 2: Decomposizione Wavelet Adattiva e Isolamento del Jitter

### 4.1 Scelta della Wavelet Madre e Parametri Ottimali

Per segnali di trading italiani, la wavelet **sym8** (simmetrica, 8 coefficienti, supporto 15) è preferibile per preservare simmetria e minimizzare distorsioni di fase.
– Parametri consigliati:
– Wavelet: sym8
– Livelli di decomposizione: 6 (su 1000 punti)
– Funzione di soglia: soft-thresholding con $\lambda_j = \sigma_j \sqrt{2\log N}$
– Validazione: confronto PSNR tra segnale originale e filtrato (target > 35 dB in Borsa Italiana).

### 4.2 Decomposizione Multirisoluzione e Thresholding Soft

Implementazione in Python-like pseudocodice:
def wavelet_decompose(data, wavelet=’sym8′, level=6):
coeffs = pywt.wavedec(data, wavelet, level=level)
thresholded = [soft_threshold(c, lm=np.std(coeffs[-1]) * np.sqrt(2*np.log(len(coeffs[-1])))) for coeff in coeffs]
return pywt.waverec(thresholded, wavelet)

# Estrazione jitter: analisi scalare D1-D3 (5-20 Hz)
jitter_coeffs = [coeffs[d] for d in range(1,4) for coeff in wavelet_decompose(d_coeffs)]

Questa operazione separa il jitter (scale alte) dal trend (scale basse), con coefficienti di dettaglio a bassa scala fortemente attenuati.

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## 5. Fase 3: Filtro Adattivo Wavelet in Ciclo Chiuso

### 5.1 Ciclo di Feedback per Eliminazione Dinamica

Il filtro wavelet adattivo opera in loop continuo, con aggiornamento dinamico della soglia basato su SNR in tempo reale:
– Calcolo SNR per ogni banda: $SNR_j = 10 \log_{10}(\text{varianza segnale}/\text{varianza rumore})$
– Aggiornamento soglia: $\lambda_{t+1} = \tau_j^{\text{prev}} \cdot \min(2, 0.8 \cdot (SNR_j / SNR_{\text{min}}))$
– Applicazione soft-thresholding con $\lambda_{t+1}$

### 5.2 Metodo A: Soglia Fissa con Finestre Scorrevole

Applicazione di soglia costante su finestre temporali di 30 secondi, con aggiornamento ogni 5 secondi.
Vantaggio: semplicità e bassa latenza, ideale per sistemi embedded.
Esempio:
for window in sliding_window(data, 30):
snr = compute_SNR(window, original_segment)
lm = np.std(window) * np.sqrt(2*np.log(len(window)))
threshold = lm * np.clip(1.0, 0.7, 1.